观测器

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一、观测器设计的基本思想

观测器是一种利用系统可测量输出和已知数学模型，来重构或估计系统内部不可测状态（如转子位置、反电动势）的算法。在电机控制中，我们通常测量的是定子相电流和电压。

图1：观测器在电机控制系统中的位置 **核心目标：**通过测量端电压和相电流，估算出反电动势，进而提取出包含转子位置信息的相位角。

二、滑模观测器（Sliding Mode Observer, SMO）

2.1 基本原理

滑模观测器是一种基于变结构控制的非线性观测器。它通过引入一个切换函数，强制系统状态轨迹在有限时间内到达并保持在预设的滑模面上，此时观测误差为零，从而实现对系统状态的精确估计。

永磁同步电机在α-β静止坐标系下的电压方程：

$\{\begin{array}{l}{u}_{\alpha }=R_s{i}_{\alpha }+L_s\frac{d{i}_{\alpha }}{dt}+e_{\alpha }\\ u_{\beta }=R_s{i}_{\beta }+L_s\frac{d{i}_{\beta }}{dt}+e_{\beta }\end{array}$

其中，反电动势 $e_{\alpha },e_{\beta }$ 包含转子位置信息：

$\{\begin{array}{l}{e}_{\alpha }=-{\psi }_f{\omega }_e\sin ({\theta }_e)\\ e_{\beta }={\psi }_f{\omega }_e\cos ({\theta }_e)\end{array}$

2.2 SMO设计步骤

1. 建立电流观测器模型： $\{\begin{array}{l}\frac{d{\hat{i}}_{\alpha }}{dt}=-\frac{R_s}{L_s}{\hat{i}}_{\alpha }+\frac{1}{L_s}(u_{\alpha }-z_{\alpha })\\ \frac{d{\hat{i}}_{\beta }}{dt}=-\frac{R_s}{L_s}{\hat{i}}_{\beta }+\frac{1}{L_s}(u_{\beta }-z_{\beta })\end{array}$
2. 设计滑模切换函数： $\{\begin{array}{l}{z}_{\alpha }=k\cdot \text{sign}({\hat{i}}_{\alpha }-i_{\alpha })\\ z_{\beta }=k\cdot \text{sign}({\hat{i}}_{\beta }-i_{\beta })\end{array}$ 其中 $k$ 为滑模增益，$\text{sign}$ 为符号函数。
3. 提取反电动势： 在滑模面上，$z_{\alpha }\approx e_{\alpha }$，$z_{\beta }\approx e_{\beta }$。
4. 计算转子位置： ${\hat{\theta }}_e=-\arctan \left(\frac{{\hat{e}}_{\alpha }}{{\hat{e}}_{\beta }}\right)$

2.3 优缺点分析

优点	缺点
对参数变化和扰动鲁棒性强	存在固有的抖振现象
结构简单，易于数字实现	需要低通滤波器处理符号函数输出
动态响应快	滤波器引入相位延迟
适用于宽速度范围	低速性能受限（反电动势小）

2.4 代码示例（简化版）

// 滑模观测器核心计算函数（C语言示例）
typedef struct {
    float i_alpha_hat;   // α轴电流估计值
    float i_beta_hat;    // β轴电流估计值
    float e_alpha_hat;   // α轴反电动势估计值
    float e_beta_hat;    // β轴反电动势估计值
    float theta_hat;     // 转子位置估计值
    float Rs;            // 定子电阻
    float Ls;            // 定子电感
    float Kslide;        // 滑模增益
    float Ts;            // 采样周期
} SMO_TypeDef;
 
void SMO_Update(SMO_TypeDef *smo, 
                float u_alpha, float u_beta,
                float i_alpha, float i_beta) {
    
    // 1. 计算电流误差
    float i_alpha_err = smo->i_alpha_hat - i_alpha;
    float i_beta_err = smo->i_beta_hat - i_beta;
    
    // 2. 滑模控制量（符号函数简化处理）
    float z_alpha = smo->Kslide * ((i_alpha_err > 0) ? 1.0f : -1.0f);
    float z_beta = smo->Kslide * ((i_beta_err > 0) ? 1.0f : -1.0f);
    
    // 3. 电流观测器更新（前向欧拉法）
    smo->i_alpha_hat += smo->Ts * (-smo->Rs/smo->Ls * smo->i_alpha_hat 
                                   + (u_alpha - z_alpha)/smo->Ls);
    smo->i_beta_hat += smo->Ts * (-smo->Rs/smo->Ls * smo->i_beta_hat 
                                  + (u_beta - z_beta)/smo->Ls);
    
    // 4. 低通滤波获取反电动势估计（简化表示）
    smo->e_alpha_hat = 0.95f * smo->e_alpha_hat + 0.05f * z_alpha;
    smo->e_beta_hat = 0.95f * smo->e_beta_hat + 0.05f * z_beta;
    
    // 5. 计算转子位置
    smo->theta_hat = -atan2f(smo->e_alpha_hat, smo->e_beta_hat);
}

三、龙伯格观测器（Luenberger Observer）

3.1 基本原理

龙伯格观测器是一种线性状态观测器，通过极点配置方法设计观测器增益，使估计误差动态系统具有期望的收敛特性。它将反电动势视为扩展状态变量进行估计。

状态空间模型建立：

将反电动势视为状态变量，建立扩展状态方程：

$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx\end{array}$

其中，状态向量 $x=[i_{\alpha },i_{\beta },e_{\alpha },e_{\beta }{]}^T$，输出 $y=[i_{\alpha },i_{\beta }{]}^T$。

3.2 设计步骤

1. 建立扩展状态方程： $\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ e_{\alpha }\\ e_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}-R_s/L_s& 0& -1/L_s& 0\\ 0& -R_s/L_s& 0& -1/L_s\\ 0& 0& 0& -{\omega }_e\\ 0& 0& {\omega }_e& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ e_{\alpha }\\ e_{\beta }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1/L_s& 0\\ 0& 1/L_s\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]$
2. 设计观测器： $\frac{d\hat{x}}{dt}=A\hat{x}+Bu+L(y-C\hat{x})$ 其中 $L$ 为观测器增益矩阵。
3. 极点配置： 通过选择适当的 $L$，使 $(A-LC)$ 的特征值具有负实部，且位于期望的位置，保证估计误差指数收敛。
4. 位置提取： ${\hat{\theta }}_e=\arctan \left(-\frac{{\hat{e}}_{\alpha }}{{\hat{e}}_{\beta }}\right)$

龙伯格观测器系统架构图

3.3 优缺点分析

优点	缺点
理论严谨，稳定性可证明	对电机参数敏感
无抖振现象，输出平滑	需要准确的电机参数
可通过极点配置优化动态性能	计算量相对较大
适用于中高速范围	低速时观测精度下降

四、两种观测器的对比与选择

滑模观测器（SMO）

• 类型： 非线性观测器
• 核心思想： 滑模变结构控制
• 鲁棒性： 强（对参数变化不敏感）
• 抖振： 存在固有抖振
• 实现复杂度： 简单
• 计算量： 小
• 适用场景： 对成本敏感、宽速度范围应用

龙伯格观测器

• 类型： 线性观测器
• 核心思想： 极点配置、误差反馈
• 鲁棒性： 较弱（依赖参数准确性）
• 抖振： 无抖振，输出平滑
• 实现复杂度： 较复杂
• 计算量： 较大
• 适用场景： 高性能、中高速应用 **选择建议：**1. 对于成本敏感、对抖振不敏感的应用（如风机、泵类），优先选择SMO。2. 对于高性能、要求平滑控制的应用（如伺服系统、精密控制），可考虑龙伯格观测器。3. 在实际工程中，常采用改进型SMO（如饱和函数代替符号函数）来减少抖振。4. 也可考虑将两者结合，如自适应滑模观测器、模糊滑模观测器等混合方案。

五、实践注意事项

1. 初始位置检测

观测器通常需要电机转动起来才能工作，因此需要初始位置检测方法：

• 高频信号注入法（适用于零低速）
• 脉冲电压注入法
• 预定位法

2. 参数敏感性处理

电机参数（Rs, Ls, ψf）随温度、饱和程度变化：

• 在线参数辨识
• 自适应观测器设计
• 参数补偿算法

3. 低速性能提升

低速时反电动势信号微弱，观测困难：

• 结合高频注入法
• 改进观测器结构（如扩展反电动势观测）
• 增加信号处理环节（如锁相环PLL）