电机学基础

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一、电机基本结构与工作原理

电机是一种将 电能 与 机械能 相互转换的电磁装置。在FOC控制中，我们主要关注 永磁同步电机（PMSM） 和 无刷直流电机（BLDC） 。

主要组成部分

• 定子 (Stator) ：静止部分，通常嵌有三相绕组。
• 转子 (Rotor) ：旋转部分，通常由永磁体（如钕铁硼）构成。
• 位置传感器 ：如编码器、旋转变压器、霍尔传感器，用于检测转子位置。
• 轴承与机壳 ：提供机械支撑与保护。

基本工作原理

基于“同性相斥，异性相吸”的电磁原理。通过向定子绕组通入受控的电流，产生一个 旋转磁场 ，该磁场吸引或排斥转子上的永磁体，从而产生连续的旋转力矩。

二、电磁感应与转矩产生

电机转矩的产生是电磁相互作用的结果，核心遵循以下几个基本定律。

核心物理定律

• 磁链原始定义：描述线圈切割或包围的总磁场。 $\psi =N\Phi =NBS$
• 电感与磁链的换算：将物理磁场量转换为工程可测的电流。 $L=\frac{\psi }{i}=\frac{NBS}{i}⟹\psi =Li$
• 动生电动势（法拉第电磁感应定律）：电机反电动势的物理源头。 $E=BLv⟹E={\omega }_e\psi$
• 角速度换算：电磁场变化频率（电角速度 ${\omega }_e$）与物理轴转速（机械角速度 ${\omega }_m$）的关系。 ${\omega }_e=\frac{P}{2}{\omega }_m$
• 总磁链方程：内嵌式电机（IPMSM）在 $d$ 轴和 $q$ 轴上的磁场组成。 ${\psi }_d={\psi }_f+L_d{i}_d,{\psi }_q=L_q{i}_q$
• 理想反电动势：无损耗假设下，由于几何垂直切割产生的感应电压。 $E_d=-{\omega }_e{\psi }_q,E_q={\omega }_e{\psi }_d$
• 定子电压方程（稳态）：包含铜线内阻 $R$ 压降的真实物理控制源头。 $u_d=R{i}_d-{\omega }_e{\psi }_q,u_q=R{i}_q+{\omega }_e{\psi }_d$

转矩公式

对于永磁同步电机，电磁转矩的通用表达式为： $T_e=\frac{3}{2}\cdot \frac{P}{2}\left[{\psi }_f{i}_q+(L_d-L_q)i_d{i}_q\right]$

其中： $T_e$：电磁转矩，单位为 N·m， $P$：电机极对数，无量纲 ${\psi }_f$：永磁体磁链，单位为 Wb， $i_d$、$i_q$：直轴、交轴电流，单位为 A， $L_d$、$L_q$：直轴、交轴电感，单位为 H

推导：

1. 高中物理课本里，一个面积为 $S$、匝数为 $N$ 的通电线圈，放在磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场中，通入电流 $I$ 时，它受到的力矩 $T$ 的公式是：

$$T=N\cdot B\cdot I\cdot S\cdot \sin \theta$$

（注：$\theta$ 是线圈法线与磁场方向的夹角） 2. FOC 通过极其精准地控制三相电流，让定子线圈产生的磁场，永远和转子磁铁保持绝对的 $90^{\circ }$ 垂直（最大力矩)

$$T=N\cdot B\cdot S\cdot I$$

3. $B\cdot S$ == $\Phi$（磁通量）， $N\cdot \Phi$== $\psi$（磁链），因为这是永磁体产生的，所以叫永磁磁链 ${\psi }_f$。 电流 $I$ 是什么？ 这个只负责产生垂直推力的电流，在 FOC 坐标系里，就是剥离出来的交轴电流 $i_q$。代入进去： $$\underset{{\psi }_f}{\underbrace{N\cdot B\cdot S}}\cdot \underset{i_q}{\underbrace{I}}⟹T={\psi }_f\cdot i_q$$
4. 乘上工程放大系数： 多加几对磁铁（极对数 $\frac{P}{2}$）：电机为了力气更大，转子上贴了好多对磁铁（比如 4 对、7 对）。每多一对磁铁，线圈每转一圈被磁场推的次数就翻倍。所以要乘上极对数 $\frac{P}{2}$ 多加两相线圈（三相系数 $\frac{3}{2}$）：电机塞满了互差 120 度的三组线圈（三相）。经过数学投影后，三相系统的总出力是单相的 1.5 倍，所以要乘上 $\frac{3}{2}$

把这两个工程系数往公式最前面一挂：

$$T_e=\frac{3}{2}\cdot \frac{P}{2}\cdot {\psi }_f\cdot i_q$$

5. 对于表贴式转子,

   $$L_d==L_q$$

   磁场既不喜欢从磁铁走又不喜欢从空气走,导致磁场都是直线 所以定子的磁场对转子的力从各个方向是一致的 公式到

$$T_e=\frac{3}{2}\cdot \frac{P}{2}\cdot {\psi }_f\cdot i_q$$

就停了 6. 但是如果是内嵌式的话,磁场方向就有所不同了,以为铁的磁通率很高,磁场会铁的地方走,这时候如果偏一点角度,磁感线就会像从铁芯走,这时候磁感线就会偏转一定的角度,产生弯折从而产生额外的扭矩:

${\omega }_e$ 是电角速度 $=\frac{P}{2}\times {\omega }_m$ 物理角速度

$U_d=-{\omega }_e{\psi }_q$

$U_q={\omega }_e{\psi }_d$

（稳态理想化：这里只考虑反电动势电压，未计入电阻压降、铜耗发热及机械损耗等因素。）

$P=U_d{i}_d+U_q{i}_q$

$={\omega }_e({\psi }_d{i}_q-{\psi }_q{i}_d)$

$T=\frac{P}{{\omega }_e}={\psi }_d{i}_q-{\psi }_q{i}_d$

$T_e=\frac{3}{2}\cdot \frac{P}{2}({\psi }_d{i}_q-{\psi }_q{i}_d)$ （加入三相补偿系数 $\frac{3}{2}$ 和极对数系数 $\frac{P}{2}$）

${\psi }_d={\psi }_f+L_d{i}_d$

${\psi }_q=L_q{i}_q$

$T_e=\frac{3}{2}\cdot \frac{P}{2}[({\psi }_f+L_d{i}_d)i_q-(L_q{i}_q)i_d]$

$=\frac{3}{2}\cdot \frac{P}{2}[{\psi }_f{i}_q+L_d{i}_d{i}_q-L_q{i}_q{i}_d]$

$=\frac{3}{2}\cdot \frac{P}{2}[{\psi }_f{i}_q+(L_d-L_q)i_d{i}_q]$

三、三相绕组与旋转磁场

三相绕组是产生 圆形旋转磁场 的关键，这是FOC算法能够实现的基础。

那为什么是3相不是2相，按照向量来说，如果两个力互相垂直，也是可以做出来的啊？

这个涉及到成本问题：两相的需要用到4根线，8个MOS

而三相绕组只要

1. 三相绕组空间分布

三个绕组（ABC，UVW，RST三种叫法)在空间上互差 $120^{\circ }$ 电角度。