Clarke变换

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一、课程目标

本讲旨在深入理解FOC（磁场定向控制）算法中的第一个关键坐标变换—— Clarke变换 。我们将从物理意义出发，完成数学推导，并最终给出在嵌入式系统中的C语言实现。学完本讲，你将能够：

• 理解三相静止坐标系（ABC）与两相静止坐标系（α-β）的物理关系。
• 掌握Clarke变换的两种形式（等幅值变换与等功率变换）的推导过程。
• 在脑海中构建清晰的坐标变换空间矢量图。
• 编写出高效、准确的Clarke变换C代码，并应用于实际电机控制项目。

二、物理意义与几何解释

三相无刷电机的三个定子绕组（A, B, C）在空间上互差120度。我们测得的是三个随时间正弦变化、相位互差120度的相电流（$I_A$, $I_B$, $I_C$）。

Clarke变换的核心思想 ：将这三个互相关联的变量，等效为两个在空间上垂直（90度）的独立变量。这大大简化了后续的分析与控制。

上图清晰地展示了：一个在空间旋转的电流矢量 $I$，既可以由它在A, B, C三个轴上的分量（$I_A$, $I_B$, $I_C$）来描述，也可以由它在两个垂直轴α, β上的分量（$I_{\alpha }$, $I_{\beta }$）来描述。Clarke变换就是求解 $I_{\alpha }$ 和 $I_{\beta }$ 的过程。

三、数学推导（等幅值变换）

我们假设三相电流是平衡的（和为0），即：

$I_A+I_B+I_C=0$

为了将矢量 $I$ 投影到α轴（与A轴重合）和β轴（超前α轴90度）上，我们进行几何分解：

推导步骤：

1. $I_{\alpha }$ 分量 ：直接等于 $I_A$ 在α轴上的投影，加上 $I_B$ 和 $I_C$ 在α轴上的投影。 $I_B$ 与 α 轴夹角为 -120°，投影为 $I_B\cos (-120^{\circ })=I_B\cdot (-\frac{1}{2})$。 $I_C$ 与 α 轴夹角为 120°，投影为 $I_C\cos (120^{\circ })=I_C\cdot (-\frac{1}{2})$。 因此： $I_{\alpha }=I_A-\frac{1}{2}{I}_B-\frac{1}{2}{I}_C$ 。
2. $I_{\beta }$ 分量 ：$I_A$ 在β轴投影为0。$I_B$ 在β轴投影为 $I_B\sin (-120^{\circ })=I_B\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$。$I_C$ 在β轴投影为 $I_C\sin (120^{\circ })=I_C\cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})$。 因此： $I_{\beta }=0+\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_C-\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_B=\frac{\sqrt{3}}{2}(I_C-I_B)$ 。
3. 利用 $I_A+I_B+I_C=0$，可以简化 $I_{\alpha }$ 表达式：将 $I_C=-I_A-I_B$ 代入，可得 $I_{\alpha }=I_A$ 。

最终，得到最常用的 等幅值变换 公式：

$I_{\alpha }=I_A$

$I_{\beta }=\frac{I_A+2I_B}{\sqrt{3}}\text{或}(I_C-I_B)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

为了便于嵌入式计算，常将系数进行归一化处理，写成矩阵形式：

$\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_A\\ I_B\end{array}\right]$

四、变换形式对比

变换类型	核心特点	变换矩阵 $(I_{\alpha },I_{\beta }{)}^T=M\cdot (I_A,I_B{)}^T$	应用场景
等幅值变换	变换前后电流矢量的幅值保持不变	$M=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right]$	最常用，计算简单，便于理解
等功率变换	变换前后系统的功率保持不变	$M=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$	对功率计算要求严格的系统
讲师提示：在绝大多数FOC应用（如无人机电调、伺服驱动器）中，使用等幅值变换即可。因为后续的Park变换和SVPWM会进行相应的系数调整，最终控制效果是一致的。等幅值变换计算量更小。

五、C语言实现（嵌入式级优化）

在STM32等MCU中，我们通常使用定点数运算以提高速度。以下是一个经过优化的Clarke变换函数实现：

/**
  * @brief  Clarke变换 (等幅值变换)
  * @param  iA, iB: 两相采样电流值 (通常假设 iA + iB + iC = 0，故只采样两相)
  * @param  pIalpha, pIbeta: 输出 alpha-beta 轴电流变量指针
  * @note   使用 Q15 定点格式 (1.15)，sqrt(3)/3 ≈ 0.57735，对应 Q15 值为 18918
  *          输入电流值建议也缩放至 Q15 范围（例如，对应ADC采样的范围）
  */
void Clarke_Transform(int16_t iA, int16_t iB, int16_t *pIalpha, int16_t *pIbeta)
{
    /* 等幅值变换公式:
       Ialpha = Ia
       Ibeta = (Ia + 2*Ib) / sqrt(3) 或 (Ia/sqrt(3)) + (2*Ib/sqrt(3))
       这里采用: Ibeta = (Ia + 2*Ib) * (1/sqrt(3))
       1/sqrt(3) ≈ 0.57735026919
       在Q15中表示为 0.57735 * 32768 = 18918
    */
    int32_t tmp1;
 
    // Ialpha = Ia (直接赋值，注意范围)
    *pIalpha = iA;
 
    // 计算 Ibeta = (Ia + 2*Ib) * 18918 >> 15
    // 先计算 Ia + 2*Ib，使用32位防止溢出
    tmp1 = (int32_t)iA + ((int32_t)iB << 1); // iA + 2*iB
    // 乘以系数 18918 (0x49E6)，然后右移15位完成Q15乘法
    tmp1 = (tmp1 * 18918) >> 15;
    // 将结果限制在16位范围内（可选，根据实际需求）
    if(tmp1 > 32767) tmp1 = 32767;
    if(tmp1 < -32768) tmp1 = -32768;
    *pIbeta = (int16_t)tmp1;
 
    /* 另一种等价写法（使用查表或汇编指令优化乘法的场合）：
       *pIbeta = (int16_t)(((int32_t)iA * 18918 + (int32_t)iB * 37836) >> 15);
    */
}
 
/*********************** 使用示例 **************************
int16_t Ia, Ib; // 假设从ADC读取并校准后的电流值，范围-32768~32767对应-Imax~Imax
int16_t Ialpha, Ibeta;
 
// 假设 Ia = 10000, Ib = -5000 (满足 Ia+Ib+Ic=0, 则 Ic = -5000)
Clarke_Transform(Ia, Ib, &Ialpha, &Ibeta);
// 此时 Ialpha = 10000, Ibeta ≈ (10000 + 2*(-5000)) * 0.57735 ≈ 0
************************************************************/

六、在FOC算法中的位置

让我们通过一个软件架构图，看清Clarke变换在整体FOC控制环路中的角色：

如图所示，Clarke变换紧随ADC电流采样之后，是将真实的、三相的、时变的电流信号，转化为便于数学处理的二维正交变量的第一步。它的输出（$I_{\alpha }$, $I_{\beta }$）将直接送入下一讲要学习的 Park变换 ，从而得到在旋转坐标系下的直轴电流 $I_d$ 和交轴电流 $I_q$ 。

七、要点总结与练习题

核心要点：

• 目的 ：三相→两相，简化系统，为后续变换做准备。
• 前提 ：三相电流平衡，和为0。因此通常只需采样两相电流。
• 关键 ：理解等幅值变换的物理意义与几何推导。
• 实现 ：使用定点数运算，注意系数定标和防止溢出。

练习题：

1. 假设在某时刻，测得 $I_A=10\text{A}$, $I_B=-5\text{A}$, $I_C=-5\text{A}$。请手动计算 $I_{\alpha }$ 和 $I_{\beta }$ 。
2. 为什么在嵌入式代码中，我们经常使用 $\frac{I_a+2I_b}{\sqrt{3}}$ 这个公式来计算 $I_{\beta }$，而不是 $(I_c-I_b)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$？
3. 尝试将本讲提供的C函数，修改为使用浮点数运算的版本，并比较两者的优缺点。

（答案将在下一讲开始时公布）