存储浮点数

浮点数的存储 —— IEEE 754 标准

标准概述

IEEE 754（Institute of Electrical and Electronics Engineers 754）是目前最通用的浮点数存储标准，几乎所有现代 CPU 和编程语言都遵循此标准。

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浮点数的数学表示

任何浮点数都可以写成科学计数法的形式：

$(-1{)}^s\times 1.M\times 2^E$

符号	名称	说明
$s$	符号位（Sign）	0 = 正数，1 = 负数
$1.M$	尾数（Mantissa / Significand）	规格化后，整数位恒为 1，只需存小数部分 $M$
$E$	指数（Exponent）	实际指数经过偏置处理后存储

整数位的 1 不需要存储，称为隐含位（hidden bit），可以省一位存储空间。

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两种精度格式

	单精度（float，32位）	双精度（double，64位）
符号位	1 位	1 位
指数位	8 位	11 位
尾数位	23 位	52 位
指数偏置值	127	1023

存储布局（以单精度为例）

31      30      23  22                    0
 ┌───┬────────────┬────────────────────────┐
 │ S │  Exponent  │       Mantissa         │
 │1位│    8位     │         23位           │
 └───┴────────────┴────────────────────────┘

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指数的偏置存储（Biased Exponent）

指数不直接存补码，而是加上一个**偏置值（Bias）**后存储为无符号整数：

$\text{存储值}=\text{真实指数}+\text{Bias}$

• 单精度 Bias = 127，指数范围：$-126\sim +127$（实际存储 1～254，0 和 255 保留）
• 双精度 Bias = 1023，指数范围：$-1022\sim +1023$

为什么用偏置而不用补码？ 偏置表示法可以直接用无符号整数比较大小，硬件实现更简单。

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完整转换示例

将 $-12.625$ 转为 IEEE 754 单精度

Step 1：转二进制

$12=1100_2,0.625=0.101_2$

$\Rightarrow 12.625=1100.101_2$

Step 2：规格化

$1100.101_2=1.100101\times 2^3$

Step 3：填各字段

字段	值	说明
符号位 S	1	负数
真实指数	3
存储指数	$3+127=130=10000010_2$
尾数 M	10010100000000000000000	去掉整数位的 1，补零到 23 位

结果：

1 | 10000010 | 10010100000000000000000

十六进制：0xC1480000

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特殊值

存储指数	尾数 M	含义
全 0（0）	全 0	$\pm 0$
全 0（0）	非零	非规格化数（极小值，整数位为 0）
全 1（255/2047）	全 0	$\pm \infty$（无穷大）
全 1（255/2047）	非零	NaN（Not a Number，非法运算结果）

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精度问题

浮点数不能精确表示所有十进制小数，例如 $0.1$ 在二进制中是无限循环小数：

$0.1=0.0001100110011{\dots }_2$

这是浮点运算产生误差的根本原因，不是 bug，是规范本身的限制。

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004   # 不等于 0.3